マンデルブロー集合について
マンデルブロー集合は 1980年 BB. Mandelbrot
によってはじめて描かれた集合です。
以来研究対象として、更にはその細部の美しさから美術的価値のあるものとして、
各分野で扱われています。
描き方は非常に簡単で、次のような数学的設定によって作図できます。
まず、パラメータ c と、変数 z は複素数であるとし
２次多項式 fc(z)=z2+c を考えます。
ここで初期値 z=0 として fc(z)
の反復を行うと次のような数列ができます。
0, c, c2+c, (c2+c)2+c,
{(c2+c)2+c}2+c, ...
この数列が『発散しないような』c の点の集合 M、すなわち、
数学の記号で書くと
M= {c∈C ;
fcn(0)が∞にならない (n→∞)}
をマンデルブロー集合と呼びます。
ここで、上で言った『発散しない』ということは、
必ずしも収束すると言う意味ではないことに注意しましょう。
例えば、 c=i ならば、反復による数列は 0, i, -1+i, -i, -1+i, ...
となり、収束しませんが、発散もしないので、Mに属しますが
c=1 ならば、数列が 0, 1, 2, 5, 26, ... となって、発散するので、
M に属さないことが分かります。
実は、数列のある項で、その数の絶対値が 2
を越えるとその列は発散することが知られています。
そのことを利用して、例えば反復を 1000 回繰り返しても絶対値が 2
を越えない場合にはその点は M
に属しているとすることによってコンピュータを使って
Mを描くことができます。
(このホームページのほとんどの挿絵はこのアルゴリズムを利用しています。)
さて、それでは、マンデルブロー集合を拡大してみましょう。
Mは自分自身の中に、M
の小さなコピーを無限個持っていて、
それらは、網の目のように延びたフィラメントでつながっています。
左フレームの上の絵は Mのなかの自分のコピー、
左フレームの下の絵はフィラメントの一部の拡大です。
このように、自分の一部の拡大が自分自身に似ている時に、
その集合を自己相似であるといいフラクタル集合とも呼びます。
この他にも Mは様々な興味深い性質を持っています。
そして、その一部はまだ数学的に解決されていません。
このページで、フラクタルの世界を楽しんでいただければ幸いです。
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